Le blog-notes mathématique du coyote

Merci à Edmond Meunier, qui m'a envoyé cette image.

La revue La recherche a sorti un numéro hors série petit format intitulé 365+1 énigmes mathématiques. Une énigme par jour et un thème de réflexion par mois.
C'est l'équivalent du calendrier mathématique qu'elle publiait les années précédentes. Pourquoi alors le mettre sous forme d'une brochure? Le calendrier à accrocher au mur me semblait être un format bien mieux adapté.
Toujours est-il que ce numéro plaira aux amateurs du genre (dont je suis).

Le grand théâtre national de Chine, c'est le nom officiel de la construction. Immense ellipsoïde de titane posé comme une île au centre d’un plan d’eau, accessible par une galerie de verre. Architecte : Paul Andreu.

Pour en savoir plus : Conférence de Paul Andreu sur l'opéra de Pékin

La mathématique a pour objet de prouver les choses les plus évidentes de la façon la moins évidente qui soit.

George Polya

Les Ambassadeurs français à la cour d'Angleterre
Hans HOLBEIN le Jeune (c.1497 - 1543)
Ce tableau recèle de nombreux instruments et ouvrages mathématiques, sans compter la célèbre anamorphose de la tête de mort (au premier plan). Il est analysé en détails sur la page intitulée Les ambassadeurs, tentative d'épuisement d'un tableau.

Archimy.com est un grapheur en ligne permettant de dessiner des objets en deux et trois dimensions. Grâce au code html produit, on peut ensuite facilement intégrer le résultat dans une page, comme je l'ai fait ci-dessous, et tourner l'objet dans tous les sens avec la souris.

Pourquoi le nombre de pétales des fleurs est-il souvent un des nombres suivants : 3, 5, 8, 13, 21, 34 ou 55 ? Par exemple, les lis ont 3 pétales, les boutons d'or en ont 5, les chicorées en ont 21, les marguerites ont souvent 34 ou 55 pétales, etc. Par ailleurs, lorsqu'on observe le coeur des tournesols on remarque deux séries de courbes, une enroulée dans un sens et une dans l'autre; le nombre de spirales n'étant pas le même dans chaque sens. Pourquoi le nombre de spirales est-il en général soit 21 et 34, soit 34 et 55, soit 55 et 89, ou soit 89 et 144 ? Même chose pour les pommes de pin : pourquoi ont-elles 8 spirales d'un côté et 13 de l'autre ? Et finalement, pourquoi le nombre de diagonales d'un ananas est-il aussi 8 dans une direction et 13 dans l'autre ?
Ces nombres sont-ils le fruit du hasard ? Non ! Ils font tous partie de la suite de Fibonacci : 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, etc., où chaque nombre s'obtient à partir de la somme des deux précédents. Depuis longtemps on avait remarqué que ces nombres étaient importants dans la nature, mais c'est seulement depuis peu qu'on comprend pourquoi. C'est une question d'efficacité dans le processus de croissance des plantes. L'explication est néanmoins un peu compliquée et on ne la présentera pas ici. Contentons-nous de mentionner qu'elle est reliée à un autre nombre fameux, le nombre d'or, lui-même intimement lié à la forme spirale de certains coquillages. Mentionnons aussi que, dans le cas du tournesol, de l'ananas et de la pomme de pin, la correspondance avec les nombres de Fibonacci est très exacte, tandis que dans le cas du nombre de pétales des fleurs, elle est plutôt vérifiée en moyenne; et dans certains cas le nombre est doublé, car les pétales sont disposés sur deux rangées.
L'ADN n'est donc pas tout ! Contrairement à ce qu'on a longtemps pensé, beaucoup de caractéristiques du monde vivant ne sont pas codées dans les gènes, mais résultent de processus mathématiques à l'ouvrage durant la phase de croissance des organismes. Bref, les mathématiques sont partout autour de nous.

Source : Du léopard au tournesol, par Stéphane Durand

Ce que l’on entend par « instrument mathématique » au XVIe siècle est un instrument pour lequel les mathématiques interviennent fortement dans la conception ou un instrument à usage mathématique. Il peut s'agir d'instruments d'astronomie, de navigation, de topographie, de calcul, de dessin… Dans tous les cas, en plus d'être encore parfois utiles, ils sont pleins de charmes et de mystères.
Le site Instruments mathématiques anciens donne une description de certains de ces instruments, leur principe de construction et d'utilisation, ainsi que leur histoire. On trouve aussi quelques livres anciens en ligne, des visites de musées et des documents pédagogiques.

Les cartes heuristiques, connues en anglais sous le nom de Mind Maps, sont utilisées depuis des siècles en éducation dans les sessions de remue-méninges, comme moyen mnémotechnique, à des fins d'illustration et même de gestion de crises, et ce, tant par des éducateurs, des ingénieurs, des psychologues que par la population en général. Une carte heuristique consiste en un diagramme illustré représentant des mots, des idées, des tâches ou d’autres éléments interconnectés par des bribes d’information. Ce concept a originalement été développé comme théorie permettant de mieux comprendre la culture humaine. Collins et Quillian en conçurent la forme actuelle au début des années 60. Une carte heuristique peut prendre différentes formes et être utilisée pour de nombreuses tâches comme l’apprentissage et l’éducation, l’aménagement d’horaires ou la production d’organigrammes.
Les cartes heuristiques offrent une multitude d’applications en éducation, notamment pour prendre des notes, faire un résumé, réviser ou mettre de l’ordre dans ses idées. Par exemple, un étudiant peut s’en servir pour prendre ses notes de cours. Il pourrait aussi y recourir comme méthode pour organiser des idées complexes.

Un outil informatique gratuit : Freemind

Lire l'article complet : Bulletin Clic - Les cartes heuristiques

La Commission Romande de Mathématiques (CRM) est composée d’enseignants provenant de différents établissements du secondaire supérieur des cantons de Berne, Fribourg, Genève, Jura, Neuchâtel, Valais et Vaud. La Commission a pour objectif la coordination de l’enseignement des mathématiques en Suisse romande et son adaptation aux orientations et aux exigences nouvelles. Pour atteindre ce but, la CRM publie des ouvrages de mathématiques, publie des articles dans le Bulletin de la SSPMP et organise des cours de perfectionnement.

Philosophie, folie et mathématique: le monde de Kurt Gödel par Pierre Cassou-Noguès.
Les démons de Gödel : Logique et folie est le nouvel ouvrage de Pierre Cassou-Noguès paru aux Editions du Seuil.
Kurt Gödel (1906-1978) est l’un des plus grands logiciens de l’histoire. En 1931, il publie son théorème de l’incomplétude et ainsi bouleverse les fondements des mathématiques. A côté de son travail sur la logique Gödel a également laissé des milliers de page de notes philosophiques qui ouvrent sur un monde fantastique peuplé d’anges et de démons.
Dans Les démons de Gödel, Pierre Cassou-Noguès analyse ces idées bizarres que Kurt Gödel a essayé durant toute sa vie de rassembler en un système logiquement cohérent.
Pierre Cassou-Noguès est agrégé de mathématique et docteur en philosophie, chargé de recherche au CNRS.

Ecouter l'émission (Les temps qui courent, 7 novembre 2007)

Une équipe japonaise a mis en concurrence des singes et des étudiants dans un exercice de mémorisation rapide. Les primates en sortent largement vainqueurs.
L’exercice peut sembler simple : plusieurs chiffres compris entre 1 et 9 apparaissent un instant sur un damier de 40 cases. Le sujet doit ensuite les toucher par ordre croissant le plus vite possible. Une équipe de six chimpanzés (3 mères, 3 jeunes) s’est prêté au ce défi. Faisant office de capitaine, la femelle Ai, 31 ans, premier chimpanzé à avoir maîtrisé les chiffres arabes en 1985. Après un peu d’entraînement, les six primates ont maîtrisé cet exercice de classement.
Les chercheurs du Primate Research Institute de l’Université de Kyoto ont alors décidé de corser l’expérience en introduisant une « variante masquée ». Dès que le sujet touche le premier chiffre de la suite, tous les autres sont remplacés par un carré blanc. Première étape : des suites de 4 chiffres. Si le taux de réussite du sujet atteint 75%, les chercheurs rajoutent un chiffre. Surprise : les jeunes chimpanzés battent à plate couture leurs mères. Par exemple, Ayumu, le fils d’Ai, présente un taux de réussite constant de 80 à 81%, que la suite comprenne 4 ou 9 chiffres. Sa mère atteint 31% pour une suite à 6 chiffres. Les autres petits sont moins doués qu’Ayumu, mais ils obtiennent tout de même de meilleurs résultats que les adultes. Ci-dessous, Ayamu pratique la variante masquée:

Les auteurs de l’étude parue dans Current Biology, Sana Inoue et Tetsuro Matsuzawa, sont des précurseurs de l’étude des capacités cognitives des primates. Une matière qui passionne les scientifiques du Japon, dont la culture ne fixe pas de barrière philosophique infranchissable entre les humains et les autres êtres vivants.
Ils ont donc soumis des étudiants au même exercice. Là encore, les résultats sont étonnants : si certains humains atteignent des taux de réussite supérieur, les performances des jeunes chimpanzés s’inscrivent dans la fourchette des capacités humaines. De plus, les singes se montrent beaucoup plus rapides que n’importe quel humain. Là encore, Ayumu domine les débats, avec un temps de réponse trois fois plus rapide que la moyenne humaine à taux de réussite égal (80%).
Dernier raffinement de l’expérience : la variante en temps limité, où la suite de chiffres n’apparaît qu’un instant (650, 430, et enfin 210 millisecondes). Ayumu et sa mère Ai ont affronté 9 humains. En moyenne, la mère a été battue par les humains, quel que soit le temps d’affichage. Mais la courbe de performance des étudiants japonais chute aussi vite que celle de la première chimpanzé mathématicienne : elle s’effondre quand le temps d’affichage baisse. Et pour cause : en 210 millisecondes, l’œil humain n’a pas du tout le temps de parcourir la surface de l’écran. La réussite dépend alors uniquement de la capacité à prendre une photographie mentale de la scène. Et c’est là qu’Ayumu a montré la pleine étendu de ses capacités : son taux de réussite reste quasiment stable à 80%, même avec 210 millisecondes d’exposition.
L’équipe japonaise explique dans Current Biology qu’Ayumu utiliserait ici une variante simiesque d’une faculté décrite en 1930 sous le nom d’« imagerie eidétique », présente chez les enfants humains, et qui disparaît avec l’âge.

Source : Les jeunes chimpanzés ont une mémoire d’éléphant, Laurent Suply (lefigaro.fr) avec Current Biology, 04/12/2007

Si la vie est complexe, c’est parce qu’elle a une partie réelle et une partie imaginaire.

Marius Sophus Lie

Quelques propriétés amusantes du nombre 142857.

LES MESUREURS, un tableau du XVIIe siècle, attribué à Hendrik van Balen

Inventé au Québec en 1987, exporté en Europe dans les années 1990, acclamé partout puis malheureusement disparu, le célèbre jeu de société "Mathable" (aussi connu sous le nom de MixMath) renaît en 2007, grâce à l'éditeur québecois Bojeux.
Le principe du jeu est génial et les règles simples : il faut composer des opérations mathématiques sur une planche de jeu. Mathable est un jeu de nombres croisés basé sur les résultats d'opérations mathématiques qui se forment sur le plateau de jeu (addition, soustraction, multiplication, division). L'objectif : placer les pièces de son chevalet à la suite des 2 pions déjà posés en respectant la règle suivante : le pion doit être le résultat d'une des 4 opérations élémentaires impliquant les deux pions précédents. Ainsi, à la suite de 9 et 3 peut-on poser 3 ( :), 27 (x), 6 (-) ou 12 (+). Le joueur marque un nombre de points égal à la pièce qu’il vient de poser. Le tablier de jeu présente des cases "compte double" et "compte triple". Le joueur doit s’efforcer de poser ainsi, et à la suite l’une de l’autre, toutes les pièces de son chevalet. S’il y parvient, il touche une prime de 50 points. Le gagnant est celui qui a obtenu le plus grand nombre de points à la fin de la partie.
Chaque boîte comprend un plateau de jeu 14 x 14 cases, 106 tuiles en bois, 4 chevalets et un bloc de score. 2 à 4 joueurs, 9 à 99 ans.

A voir aussi :

• Les règles du jeu complètes (version 1987)
• Fabriquer son mathable personnel

La Bibliothèque virtuelle en mathématiques (National Library of Virtual Manipulatives, en anglais), un projet de la National Science Foundation, a été lancé en 1999 dans le but d’élaborer une série d’activités virtuelles de manipulation interactives ou tutoriels pour l’apprentissage des mathématiques, accessibles sur le Web principalement sous la forme d’applets Java. (Niveaux M – 12). Le projet inclut la communication d’informations et une évaluation interne et externe exhaustive.
L’apprentissage et la compréhension de concepts mathématiques, à tous les niveaux, requièrent la participation de l’élève. Les mathématiques ne sont pas, comme il a été dit, un sport passif. L’enseignement actuel n’exige malheureusement pas assez souvent des élèves qu’ils soient engagés activement. L’utilisation de matériel de manipulation, soit des objets physiques qui aident les enfants à visualiser les relations et applications, constitue un moyen de contrer ce problème. Nous pouvons désormais, à l’aide d’ordinateurs, créer des environnements d’apprentissage virtuels afin d’atteindre ces mêmes objectifs.
Les besoins en matière d’activités de manipulation mathématique et d’outils d’apprentissages interactifs de qualité accessibles par le biais de l’informatique sont bien réels, tant au niveau primaire qu’intermédiaire. Notre équipe de la Utah State University construit des outils et éditeurs mathématiques Java qui nous permettent d’élaborer de nouvelles approches à l’enseignement interactif en mathématiques. L’utilisation de Java comme langage de programmation facilite l’indépendance des plateformes et l’accessibilité sur Internet.
La Bibliothèque virtuelle en mathématiques est une ressource à laquelle peuvent librement accéder les enseignants afin d’enrichir leur enseignement des mathématiques. Ces activités virtuelles représentent également un outil important pour la formation mathématique des enseignants et futurs enseignants. Cette banque d’activités connaît une croissance et une amélioration continue grâce à des projets tels le eNLVM, une initiative visant la conception d’unités d’apprentissage interactives dans le domaine des mathématiques.